June 13, 2018

Teorema Dasar Kalkulus

No comments
Teorema :
Jika f kontinyu pada [a, b] dan F anti turunan f pada [a, b] maka \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) – F(a)
Bukti :
Akan ditunjukkan \lim_{\left \| p \right \|\to 0} \sum_{k=1}^{n}f(\hat{x_{k}})\bigtriangleup x_{k} = F(b) – F(a)
Diambil P, n-partisi pada [a, b], yaitu :
a = x0 < x1 < x2 < … < xk-1 < xk < … < xn-1 < xn = b
Perhatikan :
F(b) – F(a) = F(xn) – F(x0)
            = \sum_{k=1}^{n} [F(xk) – F(xk-1)]
Mengingat f kontinyu pada [a, b], maka F juga kontinyu pada interval tersebut sebab F antiturunan f. Berarti F kontinyu pada tiap sub interval [xk-1, xk] , k = 1, 2, .., n. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata untuk turunan, maka terdapat titik \hat{x_{k}} \quad \epsilon (xk-1 ,xk) sedemikian sehingga.
        F'(\hat{x_{k}}) = \frac{F(x_{k})-F(x_{k-1})}{x_{k}-x_{k-1}}
        \Leftrightarrow F(xk) – F(xk-1) = F'(\hat{x_k})(xk – xk-1)
        \Leftrightarrow F(xk) – F(xk-1) = f(\hat{x_k}) \bigtriangleup xk
Jadi diperoleh :
    F(b)-F(a) = \sum_{k=1}^{n} [F(xk) – F(xk-1)]
              = \sum_{k=1}^{n} f(\hat{x_k}) \bigtriangleup xk
dan bila kedua ruas diambil \left \| P \right \|\rightarrow 0 maka :
    \lim_{\left \| p \right \|\to 0} \sum_{k=1}^{n} [F(b) – F(a)] = \lim_{\left \| p \right \|\to 0} \sum_{k=1}^{n} f(\hat{x_k}) \bigtriangleup xk
    F(b) – F(a) = \lim_{\left \| p \right \|\to 0} \sum_{k=1}^{n} f(\hat{x_k}) \bigtriangleup xk \blacksquare
Dengan Teorema Dasar Kalkulus untuk integral tersebut, maka perhitungan integral untuk fungsi-fungsi kontinyu, tidak lagi serumit perhitungan integral menggunakan Jumlah Rienmann dan semua hasil perhitungan integral tertentu dapat dimanfaatkan.
Fungsi-fungsi yang memenuhi Teorema Dasar Kalkulus tersebut kadang disebut juga fungsi terintegral Newton.
Akibat
Teorema Dasar Kalkulus :
  1. \int_{a}^{a} dx = 0
  2. \int_{b}^{a} f(x) dx = –\int_{a}^{b} f(x) dx
  3. \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx

0 komentar:

Post a Comment